F-distribution and F-test

※ F-분포 (F-distribution)

• $\chi^2(u)$, $\chi^2(v)$가 각각 자유도가 $u$, $v$인 독립적인 두 개의 카이제곱 확률 변수라면, \(F(u,v) = \cfrac{\cfrac{\chi^2(u)}{u}}{\cfrac{\chi^2(v)}{v}} \quad \mathtt{\sim}F(u, ~v)\)

• 분자의 자유도 $u$, 분모의 자유도가 $v$일 때,

  $F_{\alpha}(u, v)$ : 자유도가 ($u$, $v$)인 F분포에서 상위 $\alpha$의 확률을 주는 경계점

• 기각역

  $R : F = \cfrac{MStr}{MSE} \ge F_{\alpha}(k-1)(n-k)$

• $y_{11},~y_{12}, ~…,~y_{1n_{1}}, \quad y_{21},~y_{22}, ~…,~y_{2n{2}}$가 있을 때, \(\cfrac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \quad \mathtt{\sim}F(n_{1}-1, ~n_{2}-1)을 ~따른다.\)

  → 두 모집단의 분산의 비가 1인가를 검정

■ F-분포의 특징

• 양수 구간에서만 확률값을 가짐
• 대칭이 아님

• F-분포의 확률밀도함수

\[h(x) = \cfrac{\Gamma(\cfrac{u+v}{2})(\cfrac{u}{v})^{\cfrac{u}{2}}x^{\cfrac{u}{2}-1}}{\Gamma(\cfrac{u}{x})\Gamma(\cfrac{v}{2})[(\cfrac{u}{v})x+1]^{\cfrac{u+v}{2}}}, \quad 0 <x < \infty\]

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※ F-검정 (F-test)

F-검정 (one sample t-test)

• 두 모집단의 분산의 비가 1인가를 검정
• 가설
  • $H_{0}$ : $\sigma_{1}^{2}$ = $\sigma_{2}^{2}$ vs. $H_{1}$ : $\sigma_{1}^{2}$ $\ne$ $\sigma_{2}^{2}$
• 검정통계량 \(F_{n_{1},n_{2}} = \cfrac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \quad \mathtt{\sim}\text{$F(n_{1}-1,n_{2}-1)$}\)