[Linear Algebra] eigenvalue & eigenvector (고유값과 고유벡터)

※ eigenvalue & eigenvector

\[A{\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}}\]

• eigenvector (고유벡터)
  • 벡터에 선형 변환했을 때, 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터
  • $\mathbf{x}$ : 고유 벡터

• eigenvalue (고유값)
  • 벡터의 선형 변환 이후 변한 크기
  • $\lambda$ : 고유값

■ 고유값과 고유벡터 계산

\[\begin{align*} & A{\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}} \\ & \iff A{\mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} = 0} \\ & \iff (A - \lambda I){\mathbf{x} = 0} \\ \end{align*}\]

위 식에서 고유값 $\lambda$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $A - \lambda I$의 행렬식이 0이 되는 것임. 따라서, 아래를 만족하는 $\lambda$를 찾는 것.

\[det(A - \lambda I) = \mathbf{0}\]

■ 고유값과 고유벡터의 성질

□ $A^{n}\mathbf{x} = \lambda^{n} \mathbf{x}$

• 양의 정수 $n$에 대해 행렬 $A$의 고유값이 $\lambda$이고, 고유 벡터가 $\mathbf{x}$일 때, 행렬 $A^{n}$의 고유값은 $\lambda^{n}$이고, 고유 벡터는 $\mathbf{x}$와 같다.

\[\begin{align*} A^{2}\mathbf{x} &= A(A\mathbf{x}) \\ &= A(\lambda \mathbf{x}) \\ &= \lambda (A(\mathbf{x})) \\ &= \lambda (\lambda (\mathbf{x})) \\ &= \lambda^{2}(\mathbf{x}) \\ \end{align*}\]

\[\begin{align*} \therefore A^{2}\mathbf{x} = \lambda^{2}(\mathbf{x}) \end{align*}\]

□ 정사각 행렬 $A$가 가역 행렬이기 위한 필요충분조건은 행렬 $A$의 고유값이 0이 아닌 것

□ 고유 벡터는 유일하지 않다